Question

如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；

（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；

（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．

Answer

（1）y=（x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．

【解析】

（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=4，然后设出抛物线的两点式，然后将点E的坐标代入求解即可；

（2）由于AD是⊙A的切线，连接AD，那么根据切线的性质知AD⊥CD，在Rt△ACD中，可利用勾股定理求得切线CD的长度；

（3）若△BFC与△CAD相似，则有两种情况需要考虑：①△FBC∽△ADC，②△BFC∽△CAD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得CF的长．

（1）∵A（2，0），⊙A与y轴切于原点，

∴⊙A的半径为2．

∴点B的坐标为为（4，0）．

∵点A、C关于x=4对称，

∴C（6，0）．

又CO=2BE，

∴E（4，-3）

设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；

∵抛物线经过点E（4，-3）

∴-3=a（4-2）（4-6），

解得：a=．

∴抛物线的解析式为y=（x-2）（x-6）；

（2）如图1所示：连接AD，

∵AD是⊙A的切线，

∴∠ADC=90°，AD=2，

由（1）知，C（6，0）．

∵A（2，0），

∴AC=4，

在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，

∴CD=2．

（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AD．

∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，

∴△FBC∽△ADC，

∴=，即=．

解得：CF=．

如图3所示：当BF⊥CD时，连结AD、过点B作BF⊥CD，垂足为F．

∵AD⊥CD，

∴BF∥AD，

∴△BFC∽△ADC，

∴=，即=．

∴CF=．

综上所述，BF的长为或．