Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，求证：四边形ABGE是菱形．

Answer

见解析.

【解析】

先证明AB=AE，由ASA证明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，证出四边形ABGE是平行四边形，即可得出结论；

证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC且AD=BC，

∴∠CBE=∠AEB，

∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，

∴AB=AE，

∵AF⊥BE，

∴∠AFB=∠GFB=90°，

在△ABF和△GBF中，

，

∴△ABF≌△GBF（ASA），

∴AB=GB，

∴AE=GB，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABGE是平行四边形，

又∵AB=GB，

∴四边形ABGE是菱形；