Question

如图，在△ABC中，AB=14，∠B=45°，tanA=，点D为AB中点．动点P从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P关于点D对称点为点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=______秒时，点N落在AC边上．

（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，当点N在△ABC内部时，求S关于t的函数关系式．

（3）当矩形PQMN的对角线所在直线将△ABC的分为面积相等的两部分时，直接写出t的值．

Answer

（1） ；（2）S= ；（3）t的值为4-7或7-7

【解析】

（1）作CG⊥AB，由∠B=45°可设BG=CG=h，AG=14-h，根据tanA=求得h=8，再证△APN∽△AGC得，据此求解可得；（2）分点M在△ABC内部和外部两种情况：点M在△ABC内部时，重叠部分面积即为正方形的面积；点M在△ABC外部时，重叠部分面积=正方形PQMN的面积-△EMF的面积，据此求解；（3）分直线PM和直线QN将△ABC面积平分的两种情况分别求解可得．

（1）如图1，作CG⊥AB于点G，

设BG=h，∵∠B=45°，AB=14，

∴CG=BG=h，AG=14-h，

∵tanA=，即，

解得：h=8，

则AG=6，

∵DP=DQ=t，

∴PN=PQ=2t，

由PN∥CG知△APN∽△AGC，

∴，即，

解得：t=，

故答案为：．

（2）①如图2，

∵四边形PQMN是正方形，

∴∠BQM=90°，

∵∠B=45°，

∴BQ=MQ，即7-t=2t，

解得t=，

故当0＜t≤时，S=（2t）2=4t2；

②如图3，

∵∠BQF=90°，∠B=45°，

∴BQ=FQ=7-t，∠BFQ=∠MFE=45°，

则MF=MQ-QF=3t-7，

∵∠M=90°，

∴ME=MF=3t-7，

则S=（2t）2-×（3t-7）2=-t2+21t- （＜t＜）；

综上，S=．

（3）S△ABC=AB•CG=×14×8=56，

①如图4，作HR⊥AB于点R，

∵四边形PQMN为正方形，且PM为对角线，

∴∠HPB=∠B=45°，

∴HR=PB=×（14-7+t）=，

∵PM将△ABC面积平分，

∴S△PBH=S△ABC，

则•（7+t）•=×56，

解得t=-7+4（负值舍去）；

②如图5，作KT⊥AB于T，

设KT=4m，由tanA=知AT=3m，

∵∠KQT=45°，

∴KT=QT=4m，

则AQ=3m+4m=7m，

又AQ=14-（7-t）=7+t，

则7m=7+t，

∴m=，

∵直线NQ将△ABC面积平分，

∴S△AKQ=S△ABC，即×7m×4m=×56，

整理，得：m2=2，

则（）2=2，

解得：t=-7+7（负值舍去），

综上，t的值为4-7或7-7．