Question

在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“亲密点”．即：当x≥0时，点P（x，y）的“亲密点”Q的坐标为（x，y+1）；当x＜0时，点P（x，y）的“亲密点”Q的坐标为（x，-y）．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（-1，3）的“亲密点”为点（-1，-3）．

（1）点（2，-3）的“亲密点”为______；______的“亲密点”是（-2，-5）．

（2）点M（m+1，5）是一次函数y=x+3图象上点N的“亲密点”，求点N的坐标．

（3）若点P在函数y=x²-2x-3的图象上．则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是______．

（4）若点P在二次函数y=x²-2x-5的图象上，当-2＜x≤a时，其亲密点Q的纵坐标y′满足-5≤y′≤5，请直接写出a的取值范围．

Answer

（1）（2，-2），（-2，5）；（2）N1（1，4），N2（-2，-5）；（3）B；（4）1≤a≤1+

【解析】

（1）根据“亲密点”的定义即可求得；（2）分两种情况进行讨论：当m+1≥0时，点M的纵坐标为5，令5=y+1，则y=4，把y=4代入y=x+3求得x的值，即M（1，4）；当m+1＜0时，点M的纵坐标为-5，代入y=x+3求得x的值，即M（-2，-5）；（3）根据函数y=x2-2x-3的图象，依据“亲密点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出结论；（4）根据“亲密点”的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．

（1）点（2，-3）的“亲密点”为（2，-2），（-2，5）的“亲密点”是（-2，-5）．

故答案为（2，-2），（-2，5）；

（2）N1（1，4），N2（-2，-5），

（3）由函数y=x2-2x-3=（x-3）（x+1）可知：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，交y轴与负半轴，所以将y轴左侧的图象关于x轴颠倒过来，将y轴右侧的图象向上平移1个单位，即可得出y′关于x的函数图象．

故选B；

（4）由题意，得

y=x2-2x-5的图象上的点P的亲密点Q必在函数

y′=的图象上，

当x=-2时，-x2+2x+5=5，

∵y′=-x2+2x+5＞-5（x＜0），

∴y′=-5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，y′=5在y′=x2-2x-4（x≥0）上，

∴-5=x2-2x-4，

解得x=1，

∴5=x2-2x-4，

解得x=1+，x=1-（舍去），

∴1≤a≤1+ ．