Question

如图①，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；

(2)如图①，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）

(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，OE平分∠BOC．

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC的内部有一条射线OF，且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．

Answer

（1）20°；（2）∠DOE=；（3）①∠DOE=∠AOC，理由见解析；②4∠EOD﹣3∠AOF=180°，理由见解析.

【解析】

首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE即可求解；

解法与（1）相同，把①中的60°改成α即可；

①把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE求得∠DOE，即可解决；

②由∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE， OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．

（1）∵∠AOC=40°

∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°

∵OE平分∠COB

∴∠COE=∠COB=70°，

又∵∠COD=90°

∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=20°

（2）∠DOE=，

（3）①∠DOE=∠AOC，理由如下：

∵OE平分∠COB

∴∠COE=∠COB

又∵∠COD=90°

∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣∠COB，

∵∠COB+∠AOC=180°

∴∠COB=180°﹣∠AOC

∴∠EOD=90°﹣（180°﹣∠AOC）=∠AOC

②4∠EOD﹣3∠AOF=180°，理由如下：

∵OE平分∠COB

∴∠EOB=∠COE

∴∠AOC﹣2∠BOE=∠AOC﹣2∠COE

=∠AOC﹣2（90°﹣∠EOD）

=∠AOC+2∠EOD﹣180°

又∵∠DOE=∠AOC

∴∠AOC﹣2∠BOE=4∠EOD﹣180°

∵∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE

∴4∠EOD﹣3∠AOF=180°