Question

已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N

⑴求证：ME=MD；

⑵若BC=20cm，ED=12cm，求MN的长

⑶如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．

Answer

（1）证明见解析；（2）MN=8；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到DM=BC，EM=BC，等量代换即可证明；

（2）由ME=MD及MN⊥DE可得MN平分ED，由勾股定理即可求得MN的长；

（3）证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质证明．

（1）∵BD是边AC上的高，

∴∠BDC=90°，

∵点M是BC的中点，

∴DM=BC，

同理，EM=BC，

∴ME=MD；

（2）由（1）知EM=BC=10cm，

∵ME=MD，MN⊥DE，

∴EN=ED=6cm，

由勾股定理得MN==8cm；

（3）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，．

∵BD是边AC上的高，

∴∠ADB=∠CDB=90°．

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AD=CD，

∵CE是边AB上的高，

∴∠CEA=90°，

∴AC=2ED，

∵ME=MD，MN⊥DE，

∴DE=2EN，

∴AC=4EN．