Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．

（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；

（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．

Answer

证明见解析

【解析】

试题（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；

（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得 ，

由（1）可得 ，从而得 ，问题得证.

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，

∵E是AC的中点，

∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，

∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，

又∵∠BFD=∠DFC，

∴△BFD∽△DFC，

∴BF：DF=DF：FC，

∴DF2=BF·CF；

（2）∵AE·AC=ED·DF，

∴ ，

又∵∠A=∠A，

∴△AEG∽△ADC，

∴∠AEG=∠ADC=90°，

∴EG∥BC，

∴ ，

由（1）知△DFD∽△DFC，

∴ ，

∴ ，

∴EG·CF=ED·DF.