Question

如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．

(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；

(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；

(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=DG，PO=5，求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3．

【解析】

（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；
（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出EH∥DG，求出OM=AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，
求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝，tanP=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=k=5求出k=，根据勾股定理求出a，即可求出答案．

（1）证明：连接OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OC=OA，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠PAC；

（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，

∵FG∥AD，

∴∠FGD+∠D=180°，

∵∠D=90°，

∴∠FGD=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BEA=90°，

∴∠BED=90°，

∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，

∴四边形HGDE是矩形，

∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，

∵，

∴∠HEF=∠FEA=∠BEA==45°，

∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，

∴∠HEF=∠HFE，

∴FH=EH，

∴FG=FH+GH=DE+DG；

（3）【解析】
设OC交HE于M，连接OE、OF，

∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，

∴△FHO≌△EHO，

∴∠FHO=∠EHO=45°，

∵四边形GHED是矩形，

∴EH∥DG，

∴∠OMH=∠OCP=90°，

∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，

∴∠HOM=∠OHM，

∴HM=MO，

∵OM⊥BE，

∴BM=ME，

∴OM=AE，

设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，

∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，

∴四边形GHMC是矩形，

∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，

∵DG=HE，GC=HM，

∴ME=CD=2a，BM=2a，

在Rt△BOM中，tan∠MBO=，

∵EH∥DP，

∴∠P=∠MBO，

tanP=，

设OC=k，则PC=2k，

在Rt△POC中，OP=k=5，

解得：k=，OE=OC=，

在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，

a=1，

∴HE=3a=3，

在Rt△HFE中，∠HEF=45°，

∴EF=HE=3．