Question

如图所示，是外一点，，分别和切于，两点，是上任意一点，过作的切线分别交，于，．

若的周长为，则的长为________；

连接、，若，则的度数为________度．

Answer

5, 115

【解析】

（1）由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长；

（2）根据切线长定理即可证得△PEF 周长等于2PA即可求解；根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求得∠AOB的度数，然后根据∠EOF=∠AOB即可求出∠BCA的度数．

（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，

∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；

∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10；

∴PA=PB=5；

（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，

∵PA、PB分别切⊙O 于A、B；

∴∠PAO=∠PRO=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，

∴∠AFB=∠AOB=65°，

∵∠AFB+∠BCA=180°，

∴∠BCA=180°-65°=115°，

故答案是：5，115°．