Question

如图，已知的半径为，与外切于点，经过点的直线与、分别交于点、，．

（1）求的长；

（2）当时，求的半径．

Answer

（1）；（2）的半径为．

【解析】

（1）作OM⊥AB于M，如图，在Rt△OAM中根据正切定义得到tan∠OAM==，则设OM=x，AM=2x，由勾股定理得OA=5x，所以5x=5，解得x=1，于是得到AM=2，OM=，然后根据垂径定理得到AB=2AM=4；

（2）作PN⊥AC于N，如图，则AN=CN，设⊙P的半径为r，先证明△PAN∽△OAM，利用相似比得到AN=r，则AC=2AN=r，在Rt△OMC中，根据勾股定理得到OC2（）2+（r+2）2，再证明△OAC∽△OCP，利用相似比得到OC2=OA•OP=5（5+r），则（）2+（r+2）2=5（5+r），然后解r的方程即可．

（1）作于，如图，

在中，，

设，，

∴，

∴，解得，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）作于，如图，则，设的半径为，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

∴，

∴，

在中，，

∵，

而，

∴，

∴，

∴，

∴，

整理得，

解得（舍去），，

即的半径为．