Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．

求证：AM=AN．

Answer

证明见解析

【解析】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。

∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。

∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。

∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。

又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）。∴AM=AN。

根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。