Question

问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，  易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 ．

初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．

简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）

Answer

见解析

【解析】

试题分析:(1)初步探究:如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a,进而由三角形的面积公式得出结论,

(2)简单运用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出BF=BC,由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面积公式就可以得出结论.

试题解析:(1)△BCD的面积为,

理由:如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,

∴∠BED=∠ACB=90°,

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,

∴AB=BD,∠ABD=90°,

∴∠ABC+∠DBE=90°,

∵∠A+∠ABC=90°,

∴∠A=∠DBE,

在△ABC和△BDE中,

,

∴△ABC≌△BDE（AAS）,

∴BC=DE=a,

∵S△BCD=

∴S△BCD=,

(2)简单应用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,

∴∠AFB=∠E=90°,BF=,

∴∠FAB+∠ABF=90°,

∵∠ABD=90°,

∴∠ABF+∠DBE=90°,

∴∠FAB=∠EBD,

∵线段BD是由线段AB旋转得到的,

∴AB=BD,

在△AFB和△BED中,

,

∴△AFB≌△BED（AAS）,

∴BF=DE=,

∵S△BCD=,

∴S△BCD=,

∴△BCD的面积为,