Question

如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．

（1）①依题意补全图2；

②求证：AD=BE，且AD⊥BE；

③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；

（2）如图3，正方形ABCD边长为， 若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer

（1）①补图见解析；②证明见解析；③CM=．（2）1.

【解析】

（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；

（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论以及利用全等三角形的性质，套入数据即可得出结论．

（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．

②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DC=EC．

在△ADC和△BEC中，有，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．

∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，

∴AD⊥BE．

③依照题意画出图形，如图（二）所示．

∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB ，

即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），

∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．

∵△CDE为等腰直角三角形，

∴DE=2CM，

∴AE﹣BE=2CM，

∴CM=．

（2）依照题意画出图形（三）．

其中AB=，DP=1，BD=AB=

由勾股定理得：BP==3．

结合（1）③的结论可知：

AM===1．

故点A到BP的距离为1．