Question

如图，点A和点B分别是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，连接AB交x轴负半轴于点C，连接BO，tan∠BCO=，∠BOC=135°，CO=2，过点A作AD∥BO交反比例函数y=于点D，连接OD，BD．

（1）求点A的坐标；

（2）求△OBD的面积．

Answer

(1) 点A的坐标为（﹣4，﹣1）．(2)3.

【解析】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，根据∠BOC=135°可得出∠BOE=45°，从而得出OE=BE，再根据tan∠BCO=且CO=2，可得出点B坐标为（2，2），以及反比例函数系数k的几何意义即可得出反比例函数解析式，由B、C点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，将直线AB的函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出点A的横坐标，将其代入反比例函数解析式中即可得出结论；

（2）设直线AD与y轴交于点M，连接BM，则S△BOD=S△BOM，根据OB的解析式、AD∥OB及点A的坐标可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．

【解析】
（1）过点B作BE⊥x轴于点E，如图1所示．

∵∠BOC=135°，

∴∠BOE=45°，

∴OE=BE．

又∵tan∠BCO==，OC=2，

∴BE=OE=2，

∴点B的坐标为（2，2）．

∴k=2×2=4，

即反比例函数的解析式为y=．

设直线AB的解析式为y=ax+b，

将点B（2，2）、点C（﹣2，0）代入到y=ax+b中，

得，解得：．

∴直线AB的解析式为y=x+1．

将y=x+1代入到y=中，

得=x+1，即x2+2x﹣8=0，

解得：x1=﹣4，x2=2．

当x=﹣4时，y==﹣1．

∴点A的坐标为（﹣4，﹣1）．

（2）设直线AD与y轴交于点M，连接BM，如图2所示．

∵AD∥BO，

∴设直线AD的解析式为y=x+c，

∵点A（﹣4，﹣1）在直线AD的图象上，

∴﹣1=﹣4+c，解得：c=3．

∴直线AD的解析式为y=x+3．

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）．

∵AD∥BO，

∴S△BOD=S△BOM=OM•xB=×3×2=3．