Question

如图，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在边AB上取点D，在CA的延长线上取点E，使AC•CE+AB•BD=BC²

求证：（1）∠CEB＞∠ABC；

（2）BE=2CD．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）延长CE到F，使EF=2BD，由∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，可得∠ACB=90°，又AC•CE+AB•BD=BC2，等量代换可得AC（CE+2BD）=BC2，即 ，则△ABC∽△BFC，∠ABC=∠F，根据三角形外角的性质，即可证得；（2）∠F=30°，则BF=2BC，易证△EFB∽△DBC，即可证得BE=2CD．

证明：（1）延长CE到F，使EF=2BD，

∵在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，

∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

∴AB=2AC，

∵AC•CE+AB•BD=BC2，

∴AC（CE+2BD）=BC2，

∴AC×CF=BC2，

即，

∴△ABC∽△BFC，

∴∠ABC=∠F=30°，

∵∠CEB＞∠F，

∴∠CEB＞∠ABC；

（2）∵∠F=30°，∠FCB=90°，

∴FB=2BC，又∠F=∠CBD，EF=2BD，

∴△EFB∽△DBC，

∴，

∴BE=2CD．