Question

已知关于 x 的一元二次方程 x²﹣（m+6）x+3m+9=0 的两个实数根分别为 x₁， x₂．

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若 n=x₁²+x₂²﹣9，判断动点 P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣ 1，4），并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）动点 P（m，n）所形成的函数图象经过点 A（﹣1，4）．

【解析】

（1）先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据n=x12+x22-9，求出n=（m+3）2，即可得出动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（-1，4）．

（1）∵△=[-（m+6）]2-4×1×（3m+9）
=m2+12m+36-12m-36
=m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）∵x1+x2=m+6，x1x2=3m+9，
∴n=x12+x22-9
=（x1+x2）2-2x1x2-9
=（m+6）2-2（3m+9）-9
=m2+12m+36-6m-18-9
=m2+6m+9
=（m+3）2，
当m=-1时，n=（m+3）2=（-1+3）2=4，
所以动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（-1，4）．