Question

如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．

（1）当点A在x轴的正半轴上时，直接写出点C的坐标；

（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；

（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer

（1）点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=﹣1，点C的坐标为（1，﹣1）或（1，1﹣）；（2）见解析；（3）S==﹣x，其中﹣1≤x≤1.

【解析】

（1）A点坐标为（1，0），根据AB=AC，分两种情形求出C点坐标；
（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式；

（1）点A的坐标为（1，0）时，，点C的坐标为或；

（2）如图1中，结论：直线BC与⊙O相切．理由如下：

过点O作OM⊥BC于点M，

∴∠OBM=∠BOM=45°，

∴OM=OB•sin45°=1

∴直线BC与⊙O相切；

（3）过点A作AE⊥OB于点E．

在Rt△OAE中，AE2=OA2﹣OE2=1﹣x2，

在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2，

∴ 其中﹣1≤x≤1.