Question

已知：如图1，矩形ABCD内接于⊙O．⊙O的半径为4，AB=4，将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，得到矩形A′B′C′D′，当顶点A′、B′在劣弧弧AD上滑动，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′交于点M，N，G，H．

（1）求AD；

（2）判断四边形MNGH的形状，并说明理由；

（3）在旋转过程中是否存在四边形MNGH的面积有最大值或最小值？如果存在，求出面积；如果不存在，试简要说明理由．

Answer

（1）4；（2）结论：四边形MNGH的形状是菱形．理由见解析；（3）当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时，这个四边形MNGH的面积有最小值，最小值是16，四边形MNGH的面积的最大值是．

【解析】

（1）根据勾股定理计算即可；
（2）结论：四边形MNGH的形状是菱形．首先证明四边形MNGH是平行四边形，再利用面积法证明邻边相等即可解决问题；
（3）当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时，如图3中，这个四边形MNGH的面积有最小值，最小值是4×4=16．如图4中，当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时，这个四边形MNGH的面积有最大值；

（1）如图1中，连BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴BD为直径，

∴

（2）结论：四边形MNGH的形状是菱形．

理由：如图2中，

∵四边形ABCD、四边形A′B′C′D′都是矩形，

∴重叠四边形MNGH的对边互相平行，

∴四边形MNGH是平行四边形，

过N作NL⊥GH于点L，NK⊥HM于点M，又因NL=NK，

所以S四边形MNGH=GH•NL=HM•KN，（也可通过“AAS”证△NLG≌△NMK）

∴MH=HG，

∴四边形MNGH的形状是菱形．

（3）当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时，如图3中，这个四边形MNGH的面积有最小值，最小值是4×4=16．

如图4中，当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时，这个四边形MNGH的面积有最大值，设GA=x，则

由勾股定理 解得

则四边形MNGH的面积的最大值是