Question

如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），我们把|x₁﹣x₂|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．

（1）抛物线y=2x²﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．

（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；

（3）如图，若“正抛物线”y=x²+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）根据“正抛物线”的定义判断即可；
（2）根据“正抛物线”的定义构建方程即可解决问题；
（3）首先求出m，分两种情形分别求解即可解决问题；

（1）对于抛物线y=2x2﹣2，

当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，

∴A（﹣1，0），B（1，0），

∴d（A，B）=2，

∴d（x）=d（A，B），

∴抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”．

故答案为：是．

（2）当y=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，

∵b＞0，

∴d（A，B）=b，

由题意

解得b=0（舍弃）或b=4，

∴抛物线的解析式为

（3）当y=0时，x2+mx=0，解得x=0或﹣m，

∵m＜0，

∴d（A，B）

∵

∴d（x）

由题意

解得或0（舍弃），

∴

假设存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：

①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．

∴AE=2，PE=4，

由△ADE∽△PAE,可得

∴

∴DE=1，

∴D(2,1)，

∴直线AD的解析式为

由解得或

∴

②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥x轴于E.

由△ADP∽△PAE,可得 即

∴

∴AD=5，

∴D(0,−5)，

∴直线AD的解析式为

由解得或

综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).

综上所述，满足条件的点C坐标为或