Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；

（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

Answer

（1）65°（2）证明见解析

【解析】

（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.

（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，

∴∠EAD=∠BAC=25°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB，

又AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC，

又∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE=AC，DE=DC

∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，

∴直线AD是线段CE的垂直平分线.