Question

已知：△AC 内接于⊙O，D 是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为 H.

（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH；

（2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD、CD，AD 与 BC 交于点 P．求证：∠ACD=∠APB．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由OD⊥BC可知H是BC的中点，根据中位线的性质即可证明.

（2）根据垂径定理可知=，得∠BAD=∠DAC，∠B=∠ADC，根据三角形的内角和即可证明.

（1）证明：∵OD⊥BC，

∴BH=HC，

∵OA=OB，

∴AC=2OH．

（1）证明：∵OD⊥BC，

∴=,

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠B=∠ADC，∠APB+∠BAD+∠B=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，

∴∠APB=∠ACD．