Question

如图，在中，，，，点是上一动点，于，于．无论的位置如何变化，线段的最小值为（ ）

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】

当AP⊥BC时,线段DE的值最小,利用四点共圆的判定可得A、E、P、D四点共圆且直径为AP得∠AED=∠C=45°,有一公共角,根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB则AD=2x,表示出AE和AC的长,求出AE与AC的比代入比例式中可求出DE的值

解:当AP⊥BC时线段DE的值最小

如图1,

∵PE⊥AB,PD⊥AC,

∴∠AEP=∠ADP=90°,

∴∠AEP+∠ADP=180°,即A、E、P、D四点共圆且直径为AP

在Rt△PDC中,∠C=45°,

∴△PDC是等腰直角三角形,∠APD=45°,

∴△APD也是等腰直角三角形,∠PAD=45°,

∴∠PED=∠PAD=45°,

∴∠AED=45°,

∴∠AED=∠C=45°,

∵∠EAD=∠CAB,

∴△AED∽△ACB,

∴,

设AD=2x,则PD=DC=2x,AP=2x,

如图2

取AP的中点O连接EO则AO=OE=OP=x

∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°,

∴∠EOP=2∠EAO=30°

过E作EM⊥AP于M则EM=x

cos30°=,

∴OM=x·=x,

∴AM=x,

由勾股定理得:AE=,

∴=,

∴ED=

∴B选项是正确的