Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=．其中正确的结论有      （　　）                                                         

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 0个

Answer

B

【解析】

①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；

④错误，设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，可得tan∠CAD==即可得.

如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故②正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有

，即b=a，

∴tan∠CAD===，故③错误，

所以正确的有2个，

故选B．