Question

已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E

（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；

（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．

Answer

（Ⅰ）68°（Ⅱ）56°

【解析】

（1）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角,利用圆内接四边形的性质证明∠CED=∠A即可,（2）连接AE,在Rt△AEC中,先根据同圆中,相等的弦所对弧相等,再根据同圆中,相等的弧所对圆周角相等, 求出∠EAC,最后根据直径所对圆周是直角,利用直角三角形两锐角互余即可解决问题.

（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，

∴∠A+∠DEB=180°，

∵∠CED+∠DEB=180°，

∴∠CED=∠A，

∵∠A=68°，

∴∠CED=68°．

（Ⅱ）连接AE．

∵DE=BD，

∴,

∴∠DAE=∠EAB=∠CAB=34°，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠AEC=90°，

∴∠C=90°﹣∠DAE=90°﹣34°=56°