Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求b、c的值；

（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；

（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

Answer

（1）b=2，c=-3（2）∠DAO=45°．AD=3（3）y=x2-4x+3或y=x2+6x+3

【解析】

（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线函数解析式，然后求得D点坐标，通过等腰直角三角形求得∠DAO的度数；根据勾股定理计算即可求得线段AD的长度；
（3）根据题意可设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+tx+3，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，再根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c，

得：，

解得：；

（2）把A（-3，0）代入y=x+m得到：-3+m=0，

解得m=3，

即直线方程为y=x+3，

令x=0，则y=3，

∴D（0，3），

∴OA=OD=3，

又∠AOD=90°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=45°，

由A（-3，0），D（0，3）得到：AD==3，

综上所述，∠DAO=45°，AD=3；

（3）根据题意可设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+tx+3，

y=x2+tx+3=（x+）2+3-，

则点C′的坐标为（-，3-），

∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，-3），

∴直线CC′的解析式为：y=x-3，

∴--3=3-，

解得，t1=-4，t2=6，

∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2-4x+3或y=x2+6x+3．