Question

如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x²﹣nx﹣n²﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．

Answer

-3或6

【解析】

到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标代入二次函数解析式，求出n的值即可.

连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，

由题意得，抛物线必经过点E，

∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），

∴AB=2，BO=2，

∵正方形ABCD，

∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，

∴AF=BF=EF=1，

∴E（﹣3，﹣1），

∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，

解得n=﹣3或6.

故答案为﹣3或6.