Question

如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF.已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm².

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)确定自变量x的取值范围是____________；

(2)通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：

	0	0.5	1	1.6	2	2.5	3	3.5	…
	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(3)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为____cm.

Answer

（1）；（2）3.8，4.0；（3）画图见解析；（4）0或2.

【解析】

试题（1）根据点E是边AB上一动点（不与点B重合）即可得；

（2）由题意可得△ADE∽△BEF，由相似三角形对应边成比例可以得到用x表示的BF，由y=S矩形ABCD -S△ADE-S△BEF-S△DCF 根据表格中的数据进行计算即可得；

（3）根据表格中的数据进行描点，然后用平滑的曲线连接即可得；

（4）观察图象即可得.

试题解析：（1）∵点E是边AB上一动点（不与点B重合），AB=4，AE=x，

∴，

故答案为：；

（2）∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，

∵∠A=∠B=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠FEB，

∴△ADE∽△BEF，∴ ，即 ，∴BF= ，

∴CF=BC-BF=2-=，

∴y=S矩形ABCD -S△ADE-S△BEF-S△DCF

=4×2-

=8- = ，

x=1时，y≈3.8，

x=2时，y=4.0，

故答案为：3.8，4.0；

（3）如图所示；

（4）观察图象可知当x的值为0或2时，y的值最大，

故答案为：0或2.