Question

取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α(0°＜α≤45°)．

（1）当α＝15°时，求证：AB∥CD；

（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化 ，求出变化范围；若不变，求出其度数．

Answer

（1）见解析；（2）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变，105°．

【解析】

（1）根据三角板的特殊角度值即可求解.

（2）作出辅助线,根据三角形内角和即可解题.

(1)证明：∵∠CAC′＝15°，

∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，

又∴∠C＝30°，

∴∠BAC＝∠C，

∴AB∥CD；

（2）【解析】
∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变．

如图，连接CC′.

∵∠DBC′＋∠BDC＝∠DCC′＋∠BC′C，

∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝180°，

∴∠CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝180°，

∵∠AC′B＝45°，∠ACD＝30°，

∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝180°－45°－30°＝105°.