Question

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．

(1)求证：CF=BF；

(2)若CD=5，AC=12，求⊙O的半径和CE的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)CE=．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，根据同角的余角相等可证得∠BCE =∠A，又由C是的中点，证得∠DBC =∠A，继而可证得CF﹦BF；（2）由C是的中点和CD=5可求得BC=5，利用勾股定理求得AB=13，即可求得⊙O的半径为6.5；在Rt△ACB中，利用三角形面积的两种表示方法即可求得EC的长.

(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠A+∠ABC=90°．

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°．

∴∠BCE+∠ABC=90°．

∴∠BCE=∠A，

∵C是的中点，

∴=．

∴∠DBC=∠A，

∴∠DBC=∠BCE．

∴CF=BF；

(2)∵=，CD=5，

∴BC=CD=5，

∴AB==13，

∴⊙O的半径为6.5，

∵CE•AB=AC•BC，

∴CE===．