Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，BD平分∠ADC．

(1)试说明△ABC是等边三角形；

(2)若AD=2，DC=4，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为.

【解析】

（1）据已知条件和圆周角定理即可得到结论;

（2）过点A作AE⊥CD，过点B作BF⊥AC，得∠AED=90°,∠ADE=60°,∠DAE=30°,DE =1，,CE= 5,从而求出,再求出,即可求出结论.

解:（1）∵ 四边形ABCD内接于⊙O

∴ ∠ABC＋∠ADC=180°

∵ ∠ABC=60°，∴ ∠ADC=120°

∵ DB平分∠ADC，∴ ∠ADB=∠CDB=60°

∴ ∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°

∴ ∠ABC=∠BCA=∠BAC

∴ △ABC是等边三角形

⑵ 过点A作AE⊥CD，垂足为点E；

过点B作BF⊥AC，垂足为点F.

∴ ∠AED=90°

∵ ∠ADC=120° ∴ ∠ADE=60° ∴ ∠DAE=30°

∴ DE==1，

∵ CD=4

∴ CE=CD＋DE=1＋4=5

∴

Rt△AEC中，∠AED=90°

∴ AC=

∵ △ABC是等边三角形

∴ AB=BC=AC=

∴ AF=FC=

∴

∴

∴ 四边形ABCD的面积=.