Question

如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

(1)求证：DE∥OC；

(2)若AD=2，DC=3，且AD²=AE•AB，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2） .

【解析】

试题（1）首先连接OD，由在△ABC中，∠B=90°，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，易证得Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），然后由等腰三角形与三角形外角的性质，证得∠OED=∠BOC，继而证得DE∥OC；

（2）由AD、DC的长可得AC、BC的长，再根据勾股定理即可得AB的长，再根据AD2=AE•AB，从而可得AE的长，继而得到OB的长，问题得以解答.

试题解析：（1）连接OD，

∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°，

在Rt△OCD和Rt△OCB中， ，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），

∴∠DOC=∠BOC，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，

∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC；

（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AC=5，由勾股定理得AB= =4，

又∵AD2=AE·AB，∴AE=1，

∴BE=3，OB=BE=，∴=．