Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．连接DF并延长交BC的延长线于点G．

(1)求证：AF=GC；

(2)若BD=6，AD=4，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，求图中由弧EF与线段CF、CE围成的阴影部分面积．

Answer

（1）详见解析；（2）2；（3）4﹣π．

【解析】

（1）连接OD、OE、OF、OA，证明四边形OFCE为正方形，根据正方形的性质得到OF=CF，证明△GFC≌△AOF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据切线长定理得到BE=BD=6，AF=AD=4，CF=CE，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）根据正方形的面积公式和扇形面积公式计算．

（1）证明：连接OD、OE、OF、OA，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，又∠ACB=90°，OE=OF，

∴四边形OFCE为正方形，

∴OF=CF，

∵AF=AD，OF=OD，

∴OA⊥DF，又∠AFD=∠GFC，

∴∠G=∠OAF，

在△GFC和△AOF中，

，

∴△GFC≌△AOF（AAS），

∴AF=GC；

（2）【解析】
由切线长定理得，BE=BD=6，AF=AD=4，CF=CE，

则AB=AD+BD=10，

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（4+CF）2+（6+CE）2=102，

解得，CF=2，即⊙O的半径为2；

（3）【解析】
图中由弧EF与线段CF、CE围成的阴影部分面积=22﹣ =4﹣π．