Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（，0），直线y=kx－2k＋3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_______．

Answer

8

【解析】

易知直线y=kx-2k+3过定点D(2,3),运用勾股定理可求出OD,由条件可求出半径OB,由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题.

对于直线y=kx-2k+3=k(x-2)+3,当x=2时,y=3,故直线y=kx-2k+3恒经过点(2,3),记为点D.过点D作DH⊥x轴于点H,如下图所示

∴OH=2,DH=3,OD= =

∵点A(,0),

∴OA=,

∴OB=OA=

由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短

因此运用垂径定理及勾股定理可得:

BC的最小值为2BD=2=2x=2×4=8