Question

如图，以△ABC的一边BC为直径作⊙O，交AB于D，E为AC的中点，DE切⊙O于点D．

（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若半径为5，BD为8，求线段AD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可得：∠ODC=∠OCD，DE=EC，可证∠ODE=∠OCE，由DE是⊙O切线，可得∠ODC=90°，可证∠OCE=90°，则可判断AC与⊙O的位置关系；
（2）由题意可证：△ADC∽△CDB，可得，即可求AD的长．

证明：（1）连接CD、DO

∵BC是直径

∴∠BDC=∠ADC=90°

∵E是中点

∴DE=EC

∴∠EDC=∠ECD

∵OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

又 DE切⊙O于点D

∴OD⊥DE

∴∠ODC+∠CDE=90°

∴∠ECD+∠OCD=90°

∴AC⊥OC

∴AC与⊙O相切

（2）∵半径为5

∴BC=10

在Rt△BDC中，BD=8，BC=10

∴CD=6

∵∠ECD+∠OCD=90°，∠OCD+∠B=90°

∴∠ECD=∠B，且∠BDC=∠ADC=90°

∴△ADC∽△CDB

∴

∴

∴AD=