Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED

（1）求证：△CDE为等腰三角形；

（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）4.

【解析】

如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED（1）求证：△CDE为等腰三角形；（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．

【解析】
（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，

∴∠B=∠EDC，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴ED=EC；

（2）连接AE，

∵AB是直径，

∴AE⊥BC，

又∵AB=AC，

∴BC=2EC=4，

∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，

∴△ABC∽△EDC，

∴AB：EC=BC：CD，

又∵CD=3、BC=4，

∴AB：2=4：3，

∴AB=8，

∴AC=AB=8，AD=AC﹣CD=5，

∴⊙O的半径为4．