Question

如图，平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接 BD，将△BCD 绕点 B 旋转，当 BD（即 BD′）与 AD 交于一点 E，BC（即 BC′）同时与 CD 交于一点 F 时，下列结论正确的是（    ）

①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周长的最小值是4+2

A. ①②    B. ②③    C. ①②④    D. ①②③④

Answer

C

【解析】

根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．

∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，

∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°．

∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，

∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，

∴△ABE≌△BFD，

∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，

∴∠BED+∠BFD=180°．

故①正确，③错误；

∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，

∴∠EBF=60°．

故②正确；

∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，

∴当EF最小时．∵△DEF的周长最小．

∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，

∴EF=BE，

∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小．

∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，

∴EB=2，

∴△DEF的周长最小值为4+2．

故④正确．

故选C．