Question

在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，连接BP，DQ．

（1）依题意补全图 1；

（2）①连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP²+DQ²=2AB²；

②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为：    ．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析；②BP=AB．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；

②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；

（1）【解析】
补全图形如图 1：

（2）①证明：连接 BD，如图 2，

∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，

∴AQ=AP，∠QAP=90°，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∴∠1=∠2．

∴△ADQ≌△ABP，

∴DQ=BP，∠Q=∠3，

∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，

∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，

∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2， 又∵DQ=BP，BD2=2AB2，

∴DP2+DQ2=2AB2．

②【解析】
结论：BP=AB．

理由：如图 3 中，连接 AC，延长 CD 到 N，使得 DN=CD，连接 AN，QN．

∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，

∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，

∵∠AQP=45°，

∴∠NQC=90°，

∵CD=DN，

∴DQ=CD=DN=AB，

∴PB=AB．