Question

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：

（1）求过点P（1，2），且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数解析式，并画出图象；

（2）设直线l分别与y轴，x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，且交x轴于点C，求出△ABC的面积S，关于t函数关系式．

Answer

（1）y=-2x+4;（2）S=．

【解析】

（1）直线l与已知直线y=-2x-1平行，因而直线l的一次项系数是-2，根据待定系数法就可以求出函数解析式；

（2）先求出A、B两点的坐标，对点C的位置分在B点的左侧和右侧两种情况进行讨论．再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积S关于t的函数表达式．

（1）设直线l的函数表达式为y=kx+b，

∵直线l与直线y=-2x-1平行，∴k=-2，

∵直线l：y=-2x+b过点P（1，2），

∴-2+b=2，

∴b=4，

∴直线l的函数表达式为y=-2x+4．

直线l的图象如图．

（2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，

∴点A、B的坐标分别为（0，4）、（2，0）．

∵l∥m，

∴直线m为y=-2x+t．

令y=0，解得x=，

∴C点的坐标为（，0）．

∵t＞0，∴＞0．

∴C点在x轴的正半轴上．

当C点在B点的左侧时，S=×（2-）×4=4-t；

当C点在B点的右侧时，S=×（-2）×4=t-4．

∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S=．