Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b≥am²+bm总成立；④关于x的方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为(    )

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；

∵2≤c≤3，

而c=-3a，

∴2≤-3a≤3，

∴-1≤a≤-，所以②正确；

∵抛物线的顶点坐标（1，n），

∴x=1时，二次函数值有最大值n，

∴a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，所以③正确；

∵抛物线的顶点坐标（1，n），

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选D．