Question

去年我市某水果销售公司购进了国外种植的一种水果，在四月份进行了一个月（30 天）的试销，购进价格为 20 元/公斤，销售结束后，发现日销售量 P（公斤）与销售时间 x（天）之间 关系如下列表格：（1≤x≤30，且 x 为整数）且后 10 天的销售价格 Q（元/公斤）与销售时间 x（天）之间有如下关系：Q=x+20（21≤x≤30，且 x 为整数），

（1）观察表格，请用你所学过的一次函数、二次函数和反比例函数的有关知识写出 P 与 x 所满足的函数关系式，并求出四月份后十天中日销售利润 W 的最大值；

（2）进入五月份，这种水果在台湾大量上市，受此影响这种水果的购进价格每公斤降低了 5 元，同时公司也加大了宣传力度，结果五月份第一天的销售量比上一个月最后一天的销售量增加了 a%，同时价格也比上一个月最后一天的价格增加了 0.4a%，结果在五月的第一天就获得了 1600 元的利润，请参考一下数据，估算 a 的整数值．（参考数据：15²=225，16²=256，17²=289）

Answer

（1）答案见解析 （2）63

【解析】

（1）设P与x之间的函数关系式为y=kx+b，将9（1，78），（2，76）代入关系式就可以求出结论；由日销售利润=每天的销售量×每公斤的利润就可以分别表示出W与x的关系；
（２）先分别求出5月份第一的进价，第一天的销售量，销售价格，同样由日销售利润=每天的销售量×每公斤的利润建立方程求出其解即可．

解：（1）设 P 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得，解得： ，

∴P=﹣2x+80；

（2）W=（Q﹣20）P，

=（x+20﹣20）（﹣2x+80），

=﹣2x2+80x（21≤x≤30，且x为整数），

∴抛物线的对称轴x=20．

又∵21≤x≤30，且 x为整数，

∴当 x=21 时，W 有最大值，最大值=798．

（3）当 x= 30 时，P=20，Q2=50，

则 20（1+a%）〔50（1+0.4 a%）﹣15〕=1600，设 a%=m，则20（1+m）（50+20m﹣15）= 1600，即 4m2+11m﹣9=0，

m= ，

∵162=256

∴m=﹣（舍去）或 m==0.625，即整数 a 的值为 63．