Question

如图，在中，，D是AB上的点，过点D作  交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有（   ）

①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．

A. ①②③    B. ①②④    C. ②③④    D. ①②③④

Answer

B

【解析】

由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，根据等角的余角相等，可得①∠DCB=∠B正确；

由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；

易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；

由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．

在△ABC中，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°．

∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；

∴CD=BD．

∵AD=BD，∴CD=AB；故②正确；

∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；

∵∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=30°．

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．

故选B．