Question

如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．

（1）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；

（2）在x轴上是否存在一个点P，使△PAM为等腰三角形？如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标．

Answer

（1）AM=5；（2）△PAM为等腰三角形，点P的坐标是（-3，0）或（-2，0）或（8，0或（-，0）.

【解析】

（1）设AM=x，则BM=x，OM=8-x，根据勾股定理列方程得：AO2+OM2=AM2，则42+（8-x）2=x2，解出即可；

（2）△PAM为等腰三角形时，分情况进行讨论：①以A为圆心，以AM为半径画圆；②以M为圆心，以MA为半径，画圆；③作AM的垂直平分线；确定点P的位置，分别计算可得结论．

（1）由题意得：OA=4，OB=8，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴AM=BM，

设AM=x，则BM=x，OM=8-x，

Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2，

∴42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AM=5；

（2）如图，①当AP1=AM=5时，OM=OP1=3，此时P1（-3，0）；

②当AM=P2M=P3M=5时，此时P2（-2，0），P3（8，0）；

③如图，作AM的垂直平分线，交AM于E，交x轴于P4，

∴EM=，

sin∠EP4M==sin∠OAM=，

∴P4M=，

∴OP4=-3=，此时P4（-，0），

综上，△PAM为等腰三角形，点P的坐标是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（-，0）