Question

已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，再根据等边对等角证明即可；

（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．

证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴EC=DE，

∴∠ECD=∠EDC；

（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），

∴OC=OD，

又∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线．