Question

在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动,运动的时间为ts.

（1）当t=3时，

①求线段CE的长；

②当EP平分∠AEC时，求a的值；

（2）若a=1,且△CEP是以CE为腰的等腰三角形,求t的值；

（3）连接DP,直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值.

Answer

（1）①5cm；②；（2）3或；（3），t=4.

【解析】试题分析:(1) ①当t=3时,根据路程=速度×时间,可求出DE=3,然后由勾股定理可计算出CE, ②当EP平分∠AEC时,根据角平分线的性质可得:点P到EC的距离等于点P到AD的距离,即EC边上的高等于4,利用等积法可求PC,再利用线段和差关系求BP,根据速度=路程÷时间,可计算出a,(2)根据线和差关系,勾股定理把PC,PE,CE用含t的代数式表示出来,然后根据等腰三角形的性质分情况讨论,列出关于t的方程,解方程即可求解,(3)根据点C与点E关于DP对称,可得DP垂直平分CE,所以DE=CD,PE=PC,然后根据DE=CD,可先计算出t,然后根据PE=PC可求出a.

试题解析:(1) ①当t=3时,则DE=3,

在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

②当EP平分∠AEC时,根据角平分线的性质可得:点P到EC的距离等于点P到AD的距离,即EC边上的高等于4,所以,

所以,

所以PC=5,则PB=BC－PC=9－5=4,

又因为PB=at=3t,

所以3t=4,解得a=,

(2) 在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,

所以PC=BC－BP=9－t,

由勾股定理可得:PE=,

当EC=PE时,

=,解得t=3或t=9(不符合题意,舍去),

当EC=PC时,

=9－t,解得t=,

所以t=3或t=,

(3) 因为点C与点E关于DP对称,

所以DP垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,

所以DE=t=4,

因为BP=at,所以BP=4a，

所以PC=9－4a,

由勾股定理可得:PE=,

=9－4a,解得a=,

所以a=,t=4.