Question

如图，在长方形ABCD中，AD=BC,AB=CD,AD＞AB，将长方形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，

（1）求证：DN=BM；（2）求ND:NA的值；（3）求MN²：BM²的值.

Answer

（1）见解析；（2）1：3；（3）12

【解析】

(1)利用证明全等三角形得出DN=BM；（2）利用面积之比推出三角形对应边之比；（3）过点N作NG⊥BC于G,推出CDNG为矩形，根据矩形的性质推出边之比，设DN=x，用x表示MN及BM,即可得出答案.

（1）∵∠EAN=90°,∠BAN=90°且∠NAE为公共角.

∴∠EAN=∠BAM.又∵AB=CD,∠B=∠D=90°

∴△ABM≌△CDN(ASA)

∴DN=BM

(2)∵ △CDN的面积与△CMN的面积比为1：3,他们等高.

∴DN:MC=1:3

又∵AN∥CM，AM∥CN

∴四边形AMCN为平行四边形，且由于折叠时CM=AM

∴四边形AMCN为菱形.

∴DN:MC=DN：NA=1：3

(3)过点N作NG⊥BC于G，如图.

∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD=NG，CG=DN，

∠ANM=∠CMN，由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN
∴AM=AN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1:3，
∴DN:CM=1:3，

设DN=x，
则AM=AN=CM=CN=3x，AD=BC=4x，CG=x，
∴BM=x，GM=2x，
在Rt△CGN中，NG===2 .

在Rt△MNG中，MN===2x

∴==12..

故答案为：12．