Question

已知在平面直角坐标系中，A(9,0),直线l：y=.P,Q两点分别同时从O,A出发，P点沿直线l向上运动，Q点沿x轴向左运动，它们的速度相同.连接PQ，当

PQ⊥x轴时，P,Q两点同时停止运动.设P点的横坐标为m（m≥0），

（1）求m的取值范围；

（2）如图1，当△OPQ是以OP为腰的等腰三角形时，求m的值；

（3）如果以PQ为边在上方作正方形PQEF,以AQ为边在上方作正方形 QAGH，如图2，

①用含m的代数式表示E点的坐标；

②当正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形 QAGH的边上，请直接写出m的值.

Answer

（1）0≤m≤4；（2）或.（3）①E（9-m，9-）；②m=4, ,.

【解析】

(1)直接将m点带入一次函数即可.

(2)讨论两个腰相等.

(3)过PE引x轴垂线，再讨论.

把x=m带入y= x得y=m，

∴P（m， m），∴OP==，

∵OP=AQ，∴AQ=，

∴OQ=9-， ∵PQ⊥x轴时，运动停止，

∴OH≤OQ， ∴m≤9-，且m≥0.

∴0≤m≤4.

(2)若OP=PQ，则OH=OQ，∴m=（9-），m=，

若OP=OQ则=9-，m=.

∴m=或.

(3)

①易证PMQ≌QNE，∴QN=PM=m，

∴ON=OQ+QN

=9-+m

=9-m

且EN=MQ=OQ-OM=9--m=9-

∴E（9-m，9-）

②易求F（，），

若点P在HQ上，则m=9-，m=4.

若点F在HG上,则=，m=.

若点F在AG上,则=9,m=.(舍)

若点E在HG上,则9-=，m=.

若点E在HG上,则9-m=9，m=0（舍）.

∴m=4, ,.