Question

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE.

(1)若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数；

(2)若∠BAC＝θ(0°＜θ＜180°)，求∠DAE的度数．(用含θ的式子表示)

Answer

(1) 40°；(2) ①∠DAE＝2θ－180°，②∠DAE＝180°－2θ.

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根据角的和差关系进行计算即可．

(1)∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，

∴DB＝DA，EC＝EA.

∵∠BAC＝110°，

∴∠B＋∠C＝70°.

∵DB＝DA，EC＝EA，

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，

∴∠DAB＋∠EAC＝70°，

∴∠DAE＝110°－70°＝40°.

(2)分两种情况：

①如答图1所示，当∠BAC≥90°时，

∵DM垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD.

同理可得，∠C＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，

∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝θ－(180°－θ)＝2θ－180°.

答图1 答图2

②如答图2所示，当∠BAC＜90°时，

∵DM垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD.

同理可得，∠C＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，

∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE－∠BAC＝180°－θ－θ＝180°－2θ.