Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°，将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；

（2）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；

（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）30°；（2）150°；（3）∠AOM﹣∠NOC=30°，理由见解析

【解析】

(1) 根据对顶角求出∠BON,代入∠BOM=∠MON-∠BON求出即可;

(2) 求出么BOC=, 根据角平分线定义请求出∠COM=∠BOM=, 代入∠CON=∠MON+∠COM求出即可;

(3)用∠AOM和∠CON表示出∠AON,然后列出方程整理即可得解.

（1）如图2，∵∠AOC=60°，

∴∠BON=∠AOC=60°，

∵∠MON=90°，

∴∠BOM=∠MON﹣∠BON=30°，

（2）∵∠AOC=60°，

∴∠BOC=180°﹣∠AOC=120°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠BOM=60°，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠MON+∠COM=90°+60°=150°；

（3）∠AOM﹣∠NOC=30°，

理由是：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AON=90°﹣∠AOM，

∠AON=60°﹣∠NOC，

∴90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，

∴∠AOM﹣∠NOC=30°，

故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．