Question

CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE______CF；EF______|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜90°，且满足∠α+∠BCA=180°，请证明图中①的两个结论是否成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：______（不要求证明）．

Answer

（1）①=；= ；②成立；EF=|BE-AF|；（2）EF=BE+AF.

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

【解析】
（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，

∴BE=CF；EF=|CF-CE|=|BE-AF|．

故答案为：=，=；

②证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α．

∵∠BCA=180°-∠α，

∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，

∴∠CBE=∠ACF，

又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，

又∵EF=CF-CE，

∴EF=|BE-AF|．

（2）猜想：EF=BE+AF．

证明过程：

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，

∴∠BCE=∠CAF，

又∵BC=CA，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．

∴BE=CF，EC=FA，

∴EF=EC+CF=BE+AF．

故答案为：EF=BE+AF．