Question

如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．

（1）证明：DE=DF；

（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；

（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．

Answer

(1)详见解析;(2) 垂直，理由详见解析；（3）四边形AEDF的面积为4﹣．

【解析】

（1）由角平分线的性质直接可得到DE＝DF；

（2）可证明△AED≌△AFD，可知AE＝AF，利用线段垂直平分线的判定可证明AD是EF的垂直平分线，可证得结论；

（3）设△CDF的面积为x，则可分别表示出△BED、△ADE的面积，利用三角形的面积可分别表示出DE和DF，根据DE＝DF可得到关于x的方程，可求得x的值，进一步可求得四边形AEDF的面积．

（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线的性质）；

（2）垂直．理由如下：

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．

在Rt△AED和Rt△AFD中，∵

，∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上，同理点D也在线段EF的垂直平分线上，∴AD⊥EF；

（3）设S△CDF＝x，则S△BDE＝2x．

∵S△ACD＝1，且△AED≌△AFD，∴S△AED＝S△AFD＝1﹣x，∴S△ABD＝S△BDE+S△AED＝2x+1﹣x＝x+1，又S△ABDAB•DE，S△ACDAC•DF，且AB＝c，AC＝b，∴c•DE＝x+1，b•DF＝1，∴DE，DF，又由（1）可知DE＝DF，∴，解得：x1．

∵△AED≌△AFD，∴S△AED＝S△AFD＝S△ACD﹣S△CDF＝1﹣x，∴S四边形AEDF＝2S△AED＝2（1﹣x）＝2[1﹣（1）]＝4，即四边形AEDF的面积为4．